姚卫红

我多年来主讲非数学专业的《概率统计》和《复变函数B》,还有数学二专的《复变函数与概率论》。 我来解释为什么要学《数学分析》而不是《高等数学》。《数学分析》强调的是理论，而《高等数学强》调的是计算，二者的性质不同。把数学仅仅理解为不需要思考的演算，真的是对数学的侮辱。这种知其然、不知其所以然的类似于马戏团驯兽似的教育方式，和我们一贯标榜的人类灵魂工程师的教育宗旨背道而驰。他们一踏进交大的大门，实际上就被 misleading 了。后来积重难返，在不懂数学的道路上越走越远。 在第一步没有走好的状况下，以后的课程步履维艰。到了周国标的公共研究生课的时候，简直成了对牛弹琴了！ 《高等数学》里面不包括实数的完备性的六大定理，也不会讲一致收敛、一直连续等等概念。我给他们上复变函数的时候发现高数出身的上了大三了连什么是上极限也不知道（乐景良的学生除外），可是我们复变里面的求幂级数的收敛半径里面就有柯西—阿达玛定理，就必须要用到上极限。我当时真的惊讶万分，同时为交大的学生感到悲哀。还有，在一个闭区域上解析，意味着在一个更大的包含了这个闭区域的开区域上解析，这是我们复变函数里面的一个经典结论。这个概念理解与否，决定了你能否把两种不同的区域的解析统一起来！对解析概念的理解就可以上一个台阶。墒撬?闹っ饕?糜邢薷哺恰Ｋ?嵌际歉呤?錾恚?蠖嗍?谎Ч?邢薷哺牵?闳梦以趺窗欤课抑缓弥刂靥玖丝谄??匦履贸?节课帮他们补习实数的完备性等等不应该错过的数学分析知识。还有，不懂得一致收敛，如何可以逐项求导、逐项积分？这是我们复变函数躲不过去的坎！ 教概率统计的时候，也是一样。由于是高数出身，很多数学分析性质学的马马虎虎，也不明白为什么随机变量的数学期望要求绝对收敛。在讲分布函数的性质的时候，要用到很多的数 学分析知识。例如：左连续的定义，单调增加有上界，可积函数（未必连续）和原函数 的关系，什么样的函数是黎曼可积的？还有广义积分的敛散性、级数的敛散性等等。最好 还有实变函数的基础知识。 我们教概率、复变的老师，事实上是接力赛的第二棒。可是微积分的第一棒跑的一塌糊涂，你叫我们第二棒怎么跑？我每次从乐景良老师手里接过第二棒，总是跑的很顺手。因为我需要的基础他都打好了。为什么同样多的课时，乐老师可以做到？！在这里，我要衷心地向乐老师致敬！他的工作态度，让我敬佩；他的工作方法，使我受益；他的工作精神，值得我 学习。在我的教学生涯中，我渴望有一天可以做到像他一样好！ 有一次（我记得是2003年）著名数学教育家萧树铁老师（清华大学数学系前系主任、国家 教育部特邀顾问）访问交大数学系，我有幸被选去和他座谈。在和萧老师座谈的两个多小 时之中，我向他提出了很多非数学专业的数学教育问题。对于现行的高等数学的教育，他 老人家深恶痛绝，发自心底的呐喊：“我们再也不能用这种断子绝孙（学子学孙——笔者 注）的方式教学了！……无论对什么样的学生，都一定要讲真正的数学！”我当时反问他 ：“像一致收敛这么难的概念，数学系的学生理解起来尚有难度，如何对非数学系的学生 讲？”萧树铁老师回答说：“其实只要把函数看作点，不就可以了? 事实上没必要讲这么 多的点收敛。反而先入为主，难以理解一致收敛了。”我听了恍然大悟、茅塞顿开！真的 是听君一席话、胜读十年书！ 2009年初，在我的努力下，香港大学莫毅明教授（哈佛大学萧荫堂院士的学生）访问上海 交大，张杰校长热情款待了我们。席间，张校长对莫教授说：“你这个师妹呀，倡导我们 交大所有理工科施行数学系的数学教育。”莫教授回答说：“这样做是正确的。……讲 数学一定要懂数学的人来讲才对。我们香港大学经常接受来自英国大学的各种专业学生来 数学系交流，那些非数学专业的数学素养之高使你很难区分哪些是来自数学专业，哪些不 是来自数学专业。”真有意思！我的观点早就和他们交流过！很多都是受了他们的启发。张 校长还回过头来再去征求他们的意见。 还有，我说过实况转播王维克、乐经良、章仰文、邵国年老师的《数学分析》课，那是因为好的《数学分析》老师少之又少，章仰文、邵国年夫妇已经退休，不得已而为之。而且，只要转播技术高，就像我们看奥运会现场比赛，不比现场的效果差，而且还可以重复。至于GPA,更加没有关系了！教务处规定考试成绩数学期望75，3倍的均方差为15。而且，数学系的数学分析专业课本难度也分很多档次，非数学系可以使用华师大的，他们的课本我看过，简单易学、通俗易懂。当然，实在有困难的系，例如文科出身的管理专业，可以选用更加简单的数学分析教材。 总之，我的意见相信有一天会被采纳。那时候同学们放假了，和来自其他院校的中学同学 见面聊天的时候，不会因为连上极限都不知道而被人耻笑。 前天，我和汪静老师一同乘坐班车，在45分钟的交谈中，我要这个既有很多《高等数学》教学经验，又有很多《数学分析》教学经验的老师谈谈，两种不同的教育究竟给学生带来什么不同的效果？她回答说：“学过《数学分析》的学生，由于学会了思考，自学能力变强。因为课时量不够，微分方程部分、解析几何部分就要他们寒假回家自己看，考试也要考，他们完全看得懂。但是《高等数学》却培养不出这样的能力。他们仅仅是着重于计算能力的培养。”