2012朝阳二模数学理科试题及答案
数学试卷(理工类) 2012.5
(考试时间120分钟 满分150分)
本试卷分为选择题(共40分)和非选择题(共110分)两部分
第一部分(选择题 共40分)
注意事项：考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四 个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知全集 ，集合 ， ，则 =
A. B. C. D.
2.复数 满足等式 ，则复数 在复平面内对应的点所在的象限是
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限
3.已知双曲线 ( )的右焦点与抛物线 的焦点相同，则此双曲线的离心率为
A. B. C. D.
4.在△ 中， ， ， ，且△ 的面积为 ，则
等于
A. 或 B. C. D. 或
5.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数).以原点 为极点，
以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，则直
线 和曲线 的公共点有
A. 个 B. 个 C. 个 D.无数个
6.下列命题：
函数 的最小正周期是 ;
已知向量 ， ， ，则 的充要条件是 ;
若 ( )，则 .
其中所有的真命题是
A. B. C. D.
7.直线 与函数 的图象恰有三个公共点，则实数 的取
值 范围是
A. B. C. D.
8.有一个棱长为1的正方体，按任意方向正投影, 其投影面积的最大值是
A. B. C. D.
第二部分(非选择题 共110分)
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在答题卡上.
9.二项式 展开式中的常数项为 ，则实数 =_______.
10.执行如图所示的程序框图，输出的结果是____ ___.
11.若实数 满足 则 的最小值是 .
12.如图， 是圆 的直径， 于 ，且 ， 为 的中点，连接
并延长交圆 于 .若 ，则 _______，
_________.
13. 一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元，此外每生产1件该产品还需要增加
投资1万元，年产量为 ( )件.当 时，年销售总收入为( )万元;当 时，年销售总收入为260万元.记该工厂生产并销售这种产品所得的年利润为 万元，则 (万元)与 (件)的函数关系式为 ，该工厂的年产量为 件时，所得年利润最 大.(年利润=年销售总收入 年总投资)
14.在如图所示的数表中，第 行第 列的数记为 ，且满足 ，
，则此数表中的
第5行第3列的数是 ;记第3行的
数3，5，8，13，22， 为数列 ，则数列
的通项公式为 .
三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.把答案答在答题卡上.
15. (本小题满分13分)
已知函数 的图象过点 .
(Ⅰ)求 的值;
(Ⅱ)在△ 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， .若 ，
求 的取值范围.
16. (本小题满分13分)
一个袋子中装有大小形状完全相同的编号分别为1,2,3,4,5的5个红球与编号为1,2,3,4的4个白球，从中任意取出3个球.
(Ⅰ)求取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数的概率;
(Ⅱ)求取出的3个球中恰有2个球编号相同的概率;
(Ⅲ)记X为取出的3个球中编号的最大值，求X的分布列与数学期望.
]
17. (本小题满分14分)
在如图所示的几何体中，四边形 为正方形， 平面 ， ，
.
(Ⅰ)若点 在线段 上，且满足 ,
求证： 平面 ;
(Ⅱ)求证： 平面 ;
(Ⅲ)求二面角 的余弦值.
18. (本小题满分14分)
已知函数 .
(Ⅰ)若曲线 在点 处的切线与直线 垂直，求实数 的值;
(Ⅱ)讨论函数 的单调性;
(Ⅲ)当 时，记函数 的最小值为 ，求证： .
19. (本小题满分13分)
在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， 为动点，且直线 与直线 的斜率之积为 .
(Ⅰ)求动点 的轨迹 的方程;
(Ⅱ)设过点 的直线 与曲线 相交于不同的两点 ， .若点 在 轴上，且
，求点 的纵坐标的取值范围.
20.(本小题满分13分)
已知数列 满足 ，且当 时 ， ，令 .
(Ⅰ)写出 的所有可能的值;
(Ⅱ)求 的最大值;
(Ⅲ)是否存在数列 ，使得 ?若存在，求出数列 ;若不存在，
说明理由.
北京市朝阳区高三年级第二次综合练习
数学答案(理工类) 2012.5
一、选择题：
题号 1 2[XK] 3 4 5 6 7 8
答案 B B C C B D A D
二、填空题：
9. 10. 13 11.
12. ， 13. 16
14. 16，
三、解答题：
15. (本小题满分13分)
解：(Ⅰ)由 .3分
因为点 在函数 的图象上，
所以 ，
解得 . 5分
(Ⅱ) 因为 ，
所以 =2 ，
所以 ，即 . 7分
又因为 ，所以 ，所以 . 8分
又因为 ，所以 ， . 10分
所以 ， ，所以 .12分
所以 的取值范围是 . 13分
16. (本小题满分13分)
解：(Ⅰ)设取出的3个球颜色相同且编号是三个连续整数为事件A，则
.
答：取出的3个球的编号恰好是3个连续的整数，且颜色相同的概率 为 .4分[]
(Ⅱ)设取出的3个球中恰有两个球编号相同为事件B，则
.
答：取出的3个球中恰有两个球编号相同的概率为 . 8分
(Ⅲ)X的取值为2,3,4,5.
， ，
， . 11分
所以X的分布列为
X 2 3 4 5
P
X的数学期望 . 13分
17. (本小题满分14分)
证明：(Ⅰ)过 作 于 ，连结 ，
则 ，又 ，所以 .
又 且 ，
所以 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 .
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 . 4分
(Ⅱ)因为 平面 ， ，故
以 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .由已知可得
.
显然 .
则 ，
所以 .
即 ，故 平面 .
(Ⅲ)因为 ，所以 与 确定平面 ，
由已知得， ， . 9分
因为 平面 ，所以 .
由已知可得 且 ，
所以 平面 ，故 是平面 的一个法向量.
设平面 的一个法向量是 .
由 得 即
令 ，则 .
所以 .
由题意知二面角 锐角，
故二面角 的余弦值为 . 14分
18. (本小题满分14分)
解：(I) 的定义域为 .
.
根据题意，有 ，所以 ，
解得 或 . 3分
(II) .
(1)当 时，因为 ，
由 得 ，解得 ;
由 得 ，解得 .
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减.
(2)当 时，因为 ，
由 得 ，解得 ;
由 得 ，解得 .
所以函数 在 上单调递减，在 上 单调递增. 9分
(III)由(Ⅱ)知，当 时，函数 的最小值为 ，
且 .
，
令 ，得 .
当 变化时， ， 的变化情况如下表：
极大值
是 在 上的唯一极值点，且是极大值点，从而也是 的最大值点.
所以
.
所以，当 时， 成立. 14分
19. (本小题满分13分)
解：(Ⅰ)设动点 的坐标为 ，依题意可知 ，
整理得 .
所以动点 的轨迹 的方程为 . 5分
(II)当直线 的斜率不存在时，满足条件的点 的纵坐标为 . 6分
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 .
将 代入 并整理得，
. .
设 ， ，则 ， .
设 的中点为 ，则 ， ，
所以 . 9分
由题意可知 ，
又直线 的垂直平分线的方程为 .
令 解得 . .10分
当 时，因为 ，所以 ;
当 时，因为 ，所以 . .12分
综上所述，点 纵坐标的取值范围是 . .13分
20.(本小题满分13分)
解:(Ⅰ)由题设，满足条件的数列 的所有可能情况有：
(1) 此时 ;(2) 此时 ;
(3) 此时 ;(4) 此时 ;
(5) 此时 ;(6) 此时 ;
所以， 的所有可能的值为： ， ， ， ， . 4分
(Ⅱ)由 ，
可设 ，则 或 ( ， )，
因为 ，所以
.
因为 ，所以 ，且 为奇数， 是由
个1和 个 构成的数列.
所以
.
则当 的前 项取 ，后 项取 时 最大，
此时 .
证明如下：
假设 的前 项中恰有 项 取 ，则
的后 项中恰有 项 取 ，其中 ，
， ， .
所以
.
所以 的最大值为 . 9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知，如果 的前 项中恰有 项 取 ， 的后 项中恰有 项 取 ，则 ，若 ，则 ，因为是奇数，所以是奇数，而是偶数，因此 不存在数列 ，使得 . 13分
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